AlphaGeometry y la geometría olímpica
Google DeepMind publicó que AlphaGeometry resolvió 25 de 30 problemas de geometría de nivel olímpico, un desempeño cercano al de los mejores medallistas.
Sesión 10: IA para estudiar matemáticas
Introducción a la IA
Video: IA para estudiar matemáticas
Los videos y el texto de esta sesión son complementarios. Los videos amplían el contexto histórico y conceptual; el texto va a los mecanismos y te pone a interactuar con ellos. Encontrarás ideas en los videos que el texto no repite exactamente. ¡Disfruta de esta dinámica!
Introducción
La discusión pública sobre la IA y las matemáticas casi siempre se va a los extremos: o dicen que la herramienta “resuelve cosas imposibles”, o que “ni siquiera puede hacer operaciones sencillas”. Y lo curioso es que las dos pueden ser verdad al mismo tiempo.
En enero de 2024, AlphaGeometry resolvió 25 de 30 problemas de geometría de nivel olímpico. En julio de 2025, una versión avanzada de Gemini Deep Think alcanzó el nivel de medalla de oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Al mismo tiempo, investigaciones recientes muestran que los LLMs siguen teniendo fallas en aritmética, suma y manipulación simbólica cuando funcionan como asistentes de chat generales (ACL 2023, EMNLP 2025).
Lo que esto revela es que “matemáticas” no es una sola habilidad. Un sistema de IA puede ser muy útil para entender conceptos, puede encontrar demostraciones formales en entornos especializados, y aun así cometer errores en un paso algebraico si lo usas como asistente de estudio cotidiano.
Una brújula para esta sesión
Para usar la IA como tutor en matemáticas, debemos abordar el tema desde tres enfoques distintos:
- Entender un concepto o un procedimiento.
- Verificar un resultado con una herramienta exacta.
- Practicar hasta poder resolver sin ayuda.
El error más común es usar la misma herramienta para las tres cosas.
Dos noticias para arrancar
Gemini Deep Think y la Olimpiada Internacional
DeepMind comunicó que una versión avanzada de Gemini alcanzó el nivel de medalla de oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas con 35 de 42 puntos.
Estas noticias nos dejan en claro que: hay distintos tipos de tareas matemáticas, y cada una pide una herramienta diferente.
Qué suele hacer bien un asistente de IA, y qué conviene verificar
Para entender
- Explicar un procedimiento con palabras más sencillas.
- Dar un ejemplo resuelto y luego uno similar para practicar.
- Comparar métodos: factorización, fórmula general, completar el cuadrado.
- Relacionar una expresión algebraica con su gráfica y su descripción en palabras.
- Hacer preguntas para identificar en qué paso te atoraste.
Para obtener resultados exactos
- Cálculo aritmético sin errores de signo o de orden.
- Manipulación simbólica extensa.
- Pasos intermedios en álgebra, integrales o derivadas.
- Demostraciones redactadas en lenguaje natural.
- Resultados finales que vas a entregar como correctos.
Las evaluaciones del desempeño de la IA en matemáticas apuntan en esa dirección. El artículo de ACL 2023 señala limitaciones importantes en aritmética y razonamiento simbólico. El estudio de EMNLP 2025 muestra que incluso tareas tan básicas como la suma siguen revelando fallas estructurales. Y una investigación en PNAS 2024 encontró que una conversación puede sentirse útil aunque la respuesta no sea completamente correcta.
Taxonomía de herramientas y sus aplicaciones
ChatGPT, Gemini o Claude
Mejor para: explicación, pistas, comparación de métodos, preguntas de tutoría paso a paso.
Pueden cometer errores en pasos algebraicos; antes de entregar un resultado, verifica con una herramienta exacta.
Wolfram Alpha o Symbolab
Mejor para: verificar resultados, revisar pasos intermedios y confirmar si una manipulación algebraica cierra bien.
El procedimiento puede ser correcto aunque tú aún no lo entiendas; verifica que comprendes cada paso antes de seguir.
Desmos
Mejor para: visualizar funciones, intersecciones, pendientes y el comportamiento general de una expresión.
Una gráfica ayuda a interpretar, pero no reemplaza la justificación matemática escrita.
NotebookLM
Mejor para: estudiar un capítulo, ordenar tus apuntes, extraer definiciones y organizar preguntas de repaso.
Útil para entender y organizar conceptos; para cálculo exacto o verificar una derivada, usa otra herramienta.
Tres estrategias de estudio
Antes de ver más ejemplos de instrucciones para la IA, vale la pena entender qué estrategias de estudio tienen respaldo en investigación educativa y cómo encajan con estas herramientas.
Ejemplos resueltos + autoexplicación
Pide un ejemplo resuelto y luego explica con tus palabras por qué cada paso era necesario. La combinación mejora comprensión y transferencia.
Uso con IA: "Muéstrame un ejemplo de factorización. Luego hazme preguntas para que yo explique por qué funciona cada paso".
Práctica de recuperación
Recordar un procedimiento sin ver la solución fortalece más que releer. Después comparas tu propuesta con una explicación o una herramienta exacta.
Uso con IA: "No me des la respuesta todavía. Hazme tres preguntas cortas para que recuerde el método de derivación".
Práctica intercalada
Mezclar tipos de problema obliga a decidir qué método usar. En matemáticas eso suele ser más útil que repetir veinte veces el mismo formato.
Uso con IA: "Dame seis ejercicios mezclados: dos de factorización, dos de fórmula general y dos donde tenga que decidir cuál método conviene".
Cuando la IA suena segura pero se equivoca
Así se ve una conversación con un asistente de IA al resolver \(x^2 - 5x + 6 = 0\):
Necesito resolver x² − 5x + 6 = 0 para mi tarea de mañana. Explícame cada paso.
AI
Para factorizar x² − 5x + 6 = 0, busco dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5.
Esos números son −2 y 3.
La ecuación factorizada queda:
(x − 2)(x + 3) = 0
Las soluciones son x = 2 y x = −3.
Espera, ¿puedes verificar eso expandiendo la factorización?
AI
Si expando (x − 2)(x + 3) obtengo x² + x − 6, que no coincide con x² − 5x + 6. Cometí un error de signos.
Los números correctos son −2 y −3: (−2) × (−3) = 6 ✓ y (−2) + (−3) = −5 ✓.
La factorización correcta es:
(x − 2)(x − 3) = 0
Las soluciones son x = 2 y x = 3.
Qué pasó en esta conversación
- La primera respuesta sonaba ordenada y usaba lenguaje técnico correcto. Pero los números estaban mal: −2 × 3 = −6 (no 6) y −2 + 3 = 1 (no −5). Ninguna de las dos condiciones se cumplía.
- El error se detectó con una pregunta sencilla: "¿puedes verificar expandiendo?" No hicieron falta conocimientos avanzados, solo pedir que se comprobara el resultado.
- Sin esa pregunta, las soluciones incorrectas x = 2 y x = −3 habrían pasado como válidas. Una respuesta fluida no garantiza una respuesta correcta.
Cómo verificar cualquier factorización
- Expande el resultado y compara con la ecuación original.
- Sustituye cada raíz en la ecuación original y verifica que el resultado sea cero.
- Escribe
solve x^2 - 5x + 6 = 0en Wolfram Alpha o Symbolab. - Grafica
y = x^2 - 5x + 6en Desmos y observa dónde cruza el eje x.
Por qué los sistemas de olimpiada son distintos al asistente de estudio
AlphaGeometry o Gemini Deep Think operan en condiciones muy distintas a las del asistente de chat que abres para estudiar la noche antes de un examen. Trabajan en contextos acotados, con búsqueda más profunda, validación formal y arquitecturas especializadas para ese propósito.
Lo que debemos entender, entonces, es que cada herramienta de IA tiene condiciones en las que funciona bien y condiciones en las que falla; saber cuáles son esas condiciones define si estudias bien o si depositaste tu confianza en el lugar equivocado.
Actividad: diagnostica una solución
Trabaja con un problema de tu curso o usa este:
\[f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\]
La tarea es encontrar los puntos críticos de \(f\) y determinar si cada uno es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos.
Haz tres cosas y documenta el proceso:
- Pide a un asistente de IA que encuentre \(f'(x)\), iguale a cero y clasifique los puntos críticos usando el criterio de la segunda derivada. Copia la respuesta completa.
- Repite el proceso tú a mano: calcula \(f'(x)\), resuelve \(f'(x) = 0\), calcula \(f''(x)\) y aplica el criterio.
- Verifica en Wolfram Alpha escribiendo
critical points of x^3 - 3x^2 - 9x + 5y grafica en Desmos para confirmar visualmente dónde están los máximos y mínimos.
Lo que documentes no es solo la respuesta, sino lo que aprendiste sobre el proceso:
- ¿Qué herramienta te ayudó a entender el procedimiento?
- ¿Qué herramienta te ayudó a verificar el resultado?
- ¿Cambiaría tu estrategia si el problema viniera en un examen y no tuvieras acceso a estas herramientas?
La idea central de esta sesión
Idea central · Sesión 10
La IA puede ser muy útil para estudiar matemáticas si distingues tres tareas distintas: entender, verificar y practicar. Un asistente conversacional puede ayudarte a comprender; herramientas exactas sirven para comprobar; y el aprendizaje real ocurre cuando después practicas sin ayuda.
Recursos para explorar más sobre el tema
Casos y contexto
- AlphaGeometry, Google DeepMind, 17 de enero de 2024
- Gemini Deep Think en la IMO, Google DeepMind, 21 de julio de 2025
- Limitations of Language Models in Arithmetic and Symbolic Induction, ACL 2023
- Do Large Language Models Truly Grasp Addition?, EMNLP 2025
- Evaluating language models for mathematics through interactions, PNAS 2024
Herramientas
Estrategias de estudio